Toán tổ hợp

Bài 1
Tìm hệ số của số hạng chứa $x^8$ trong khai triển nhị thức Newton $\Big(\displaystyle\frac{1}{x^3}+\sqrt{x^5}\Big)^n$ biết rằng $C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3).$
Lời giải:
Điều kiện $n\in\Bbb N.$
Ta có
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
&\;\;\;\;\;\;\;\;C_{n+4}^{n+1}-C_{n+3}^n=7(n+3)\\
&\Longleftrightarrow\displaystyle\frac{(n+4)!}{(n+1)!3!}-\displaystyle\frac{(n+3)!}{n!3!}=7(n+3)\\
&\Longleftrightarrow\displaystyle\frac{(n+2)(n+3)(n+4)}{6}-\displaystyle\frac{(n+1)(n+2)(n+3)}{6}=7(n+3)\\
&\Longleftrightarrow\displaystyle\frac{(n+2)(n+4)}{6}-\displaystyle\frac{(n+1)(n+2)}{6}=7\\
&\Longleftrightarrow n^2+6n+8-(n^2+3n+2)=42\\
&\Longleftrightarrow 3n-36=0\\
&\Longleftrightarrow n=12.
\end{aligned}
\end{equation*}
Ta có
\begin{equation*}\notag
\begin{aligned}
\Big(\displaystyle\frac{1}{x^3}+\sqrt{x^5}\Big)^n&=\Big(x^{-3}+x^\frac{5}{2}\Big)^{12}\\
&=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{12}C_{12}^k(x^{-3})^{12-k}(x^\frac{5}{2})^k\\
&=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{12}C_{12}^kx^{-36+3k}x^\frac{5k}{2}\\
&=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{12}C_{12}^kx^{-36+3k+\frac{5k}{2}}\\
&=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{12}C_{12}^kx^{-36+\frac{11k}{2}}.
\end{aligned}
\end{equation*}
Hệ số của $x^8$ là $C_{12}^k$ trong đó $k\in\{0; 1;\ldots;12\}$ thỏa mãn $-36+\displaystyle\frac{11k}{2}=8$ hay $\displaystyle\frac{11k}{2}=44.$ Do đó $k=8.$
Vậy hệ số của $x^8$ là $C_{12}^8=495.$